Fermaten teorema txikia

Argitalpen honetan, zenbaki osoen teoriako teorema nagusietako bat hartuko dugu kontuan:  Fermaten teorema txikiaPierre de Fermat matematikari frantsesaren omenez du izena. Aurkeztutako materiala finkatzeko arazoa konpontzeko adibide bat ere aztertuko dugu.

Teoremaren enuntziatua

1. Hasierakoa

If p zenbaki lehen bat da a zatigarria ez den zenbaki oso bat da pondoren a^p-1 - 1 arabera banatuta p.

Formalki honela idatzita dago: a^p-1 ≡ 1 (aurka p).

Ohar: Zenbaki lehena XNUMX eta bera hondarrik gabe zatigarria den zenbaki naturala da.

Adibidez:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• zenbakia 15 arabera banatuta 5 hondarrik gabe.

2. Alternatiba

If p zenbaki lehen bat da, a edozein zenbaki oso, bada a^p alderagarria a modulo p.

a^p ≡ a (aurka p)

Frogak aurkitzeko historia

Pierre de Fermatek 1640an formulatu zuen teorema, baina ez zuen berak frogatu. Geroago, Gottfried Wilhelm Leibniz filosofo, logiko, matematikari... alemaniar batek egin zuen. Uste da 1683rako bazeukala froga hori, nahiz eta inoiz argitaratu. Nabarmentzekoa da Leibnizek berak aurkitu zuela teorema, aurretik formulatua zela jakin gabe.

Teoremaren lehen froga 1736an argitaratu zen, eta Leonhard Euler suitzar, alemaniar eta matematikari eta mekanikariari dagokio. Fermaten teorema txikia Eulerren teorema kasu berezi bat da.

Arazo baten adibidea

Aurkitu zenbaki baten hondarra 2¹² on 12.

Irtenbidea

Imajina dezagun zenbaki bat 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 zenbaki lehena da, beraz, Fermaten teorema txikiaren arabera:

2¹¹ ≡ 2 (aurka 11).

Hori dela eta, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (aurka 11).

Beraz, zenbakia 2¹² arabera banatuta 12 berdineko hondarrarekin 4.