Zenbaki konplexu baten erroa ateratzea

Argitalpen honetan, zenbaki konplexu baten erroa nola har dezakezun aztertuko dugu, eta nola lagun dezakeen honek diskriminatzailea zero baino txikiagoa duten ekuazio koadratikoak ebazten.

Zenbaki konplexu baten erroa ateratzea

Erro karratua

Dakigunez, ezinezkoa da zenbaki erreal negatibo baten erroa hartzea. Baina zenbaki konplexuei dagokienez, ekintza hau egin daiteke. Asma dezagun.

Demagun zenbaki bat dugula z = -9. For √-9 bi sustrai daude:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Egiazta ditzagun lortutako emaitzak ekuazioa ebatziz z² =-9, hori ahaztu gabe i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Hala, hori frogatu dugu -3i и 3i sustraiak dira √-9.

Zenbaki negatibo baten erroa honela idatzi ohi da:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i eta abar.

Erroa n-ren boterean

Demagun formako ekuazioak ematen zaizkigula z = ⁿ√w… Dauka n sustraiak (z₀, De₁, De₂,…, z_n-1), beheko formula erabiliz kalkula daiteke:

|w| zenbaki konplexu baten modulua da w;

φ – bere argudioa

k balioak hartzen dituen parametro bat da: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Erro konplexuak dituzten ekuazio koadratikoak

Zenbaki negatibo baten erroa ateratzeak uXNUMXbuXNUMXb-ren ohiko ideia aldatzen du. Diskriminatzailea bada (D) zero baino txikiagoa da, orduan ezin dira erro errealak egon, baina zenbaki konplexu gisa irudika daitezke.

Adibidea

Ebatzi dezagun ekuazioa x² – 8x + 20 = 0.

Irtenbidea

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, baina diskriminatzaile negatiboaren erroa har dezakegu oraindik:

√D = √-16 = ±4i

Orain erroak kalkula ditzakegu:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Beraz, ekuazioa x² – 8x + 20 = 0 bi erro konjokatu konplexu ditu:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i