Zenbaki konplexu bat potentzia natural batera igotzea

Argitalpen honetan, zenbaki konplexu bat potentzia batera nola igo daitekeen aztertuko dugu (De Moivre formula erabiliz barne). Material teorikoa adibideekin batera doa hobeto ulertzeko.

Zenbaki konplexu bat potentzia batera igotzea

Lehenik eta behin, gogoratu zenbaki konplexu batek forma orokorra duela: z = a + bi (forma aljebraikoa).

Orain zuzenean joan gaitezke arazoaren konponbidera.

Zenbaki karratua

Gradua faktore berdinen produktu gisa irudika dezakegu eta gero haien produktua aurki dezakegu (hori gogoratzen dugun bitartean i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Adibidez 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Erabil dezakezu, hots, baturaren karratua:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Ohar: Modu berean, behar izanez gero, diferentziaren karratuaren, batuketaren / diferentziaren kuboaren, etab.ren formulak lor daitezke.

N. gradua

Altxatu zenbaki konplexu bat z espeziean n askoz errazagoa da forma trigonometrikoan adierazten bada.

Gogoratu, oro har, zenbaki baten notazioa honelakoa dela: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Beropenentziarako, erabil dezakezu De Moivreren formula (Abraham de Moivre ingeles matematikariaren omenez izendatua):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formula forma trigonometrikoan idatziz lortzen da (moduluak biderkatu, eta argumentuak gehitzen dira).

Adibidea 2

Altxatu zenbaki konplexu bat z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) zortzigarren graduraino.

Irtenbidea

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).