Argitalpen honetan, geometria afinaren teorema klasikoetako bat hartuko dugu kontuan: Ceva teorema, Giovanni Ceva ingeniari italiarraren omenez halako izen bat jaso zuena. Era berean, arazoa konpontzeko adibide bat aztertuko dugu aurkeztutako materiala finkatzeko.
Teoremaren enuntziatua
Triangelua emandakoa ABC, zeinetan erpin bakoitza kontrako aldean dagoen puntu bati lotuta dagoen.
Horrela, hiru segmentu lortuko ditugu (AA', BB' и CC'), deitzen direnak zebiarrak.
Segmentu hauek puntu batean ebakitzen dute berdintasun hau betetzen bada eta soilik:
|ETA'| |EZ'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
Teorema era honetan ere aurkez daiteke (puntuek aldeak zein proportziotan banatzen dituzten zehazten da):
Cevaren teorema trigonometrikoa
Oharra: bazter guztiak orientatuta daude.
Arazo baten adibidea
Triangelua emandakoa ABC puntuekin HORI', B ' и C ' alboetan BC, AC и AB, hurrenez hurren. Triangeluaren erpinak emandako puntuei lotuta daude, eta eratutako segmentuak puntu batetik igarotzen dira. Aldi berean, puntuak HORI' и B ' dagozkien kontrako aldeen erdiko puntuetan hartuta. Jakin zer ratiotan dagoen puntua C ' alde banatzen du AB.
Irtenbidea
Marraz dezagun marrazki bat problemaren baldintzen arabera. Gure erosotasunerako, idazkera hau hartzen dugu:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Segmentuen ratioa Ceva teoremaren arabera osatzea eta onartutako notazioa ordezkatzea besterik ez da geratzen:
Zatikiak murriztu ondoren, honako hau lortzen dugu:
Hori dela eta, AC' = C'B, hau da, puntua C ' alde banatzen du AB erdiz.
Horregatik, gure triangeluan, segmentuak AA', BB' и CC' mediakoak dira. Problema ebatzita, puntu batean ebakitzen dutela frogatu dugu (edozein triangelurako balio du).
Ohar: Cevaren teorema erabiliz, froga daiteke triangelu batean puntu batean erdibitzaileak edo altuerak ere ebakitzen direla.