Argitalpen honetan, metodo gaussiarra zer den, zergatik behar den eta bere printzipioa zein den aztertuko dugu. Metodoa ekuazio linealen sistema bat ebazteko metodoa nola aplika daitekeen adibide praktiko bat erabiliz ere erakutsiko dugu.
Gauss metodoaren deskribapena
Gauss metodoa ebazteko erabiltzen den aldagaien ezabaketa sekuentzialaren metodo klasikoa da. Carl Friedrich Gauss (1777-1885) alemaniar matematikariaren omenez du izena.
Baina lehenik eta behin, gogora dezagun SLAUk:
- irtenbide bakarra izan;
- soluzio kopuru infinitua izan;
- bateraezina izan, hau da, irtenbiderik ez izatea.
Onura praktikoak
Gauss metodoa modu bikaina da hiru ekuazio lineal baino gehiago biltzen dituen SLAE bat ebazteko, baita karratuak ez diren sistemak ere.
Gauss metodoaren printzipioa
Metodoak urrats hauek ditu:
- zuzen – ekuazio-sistemari dagokion matrize areagotua, errenkaden gainetik goiko forma triangeluarra (mailakatua) modura murrizten da, hau da, diagonal nagusiaren azpian zero berdineko elementuak bakarrik egon behar dira.
- atzera – ondoriozko matrizean, diagonal nagusiaren gaineko elementuak ere zeroan jartzen dira (beheko ikuspegi triangeluarra).
SLAE irtenbidearen adibidea
Ebatzi dezagun beheko ekuazio linealen sistema Gauss metodoa erabiliz.
Irtenbidea
1. Hasteko, SLAE matrize zabaldu baten moduan aurkezten dugu.
2. Orain gure zeregina diagonal nagusiaren azpian dauden elementu guztiak berrezartzea da. Ekintza gehiago matrize zehatzaren araberakoak dira, jarraian gure kasuan aplikatzen direnak deskribatuko ditugu. Lehenik eta behin, errenkadak trukatzen ditugu, horrela lehen elementuak goranzko ordenan kokatuz.
3. Bigarren ilaratik lehenengoa bi aldiz kendu eta hirugarrenetik - hirukoiztu lehenengoa.
4. Gehitu bigarren lerroa hirugarren lerroari.
5. Lehenengo lerrotik bigarren lerroa kendu, eta, aldi berean, hirugarren lerroa -10ez zatitu.
6. Lehenengo etapa amaitu da. Orain diagonal nagusiaren gaineko elementu nuluak lortu behar ditugu. Horretarako, kendu hirugarrena 7z biderkatuta lehenengo ilaratik, eta hirugarrena 5ez biderkatu bigarrenari gehitu.
7. Hedatutako azken matrizeak itxura hau du:
8. Ekuazio-sistemari dagokio:
Erantzuna: erro SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.